Sucesiones y Progresiones

Sumar siempre lo mismo o multiplicar siempre por lo mismo

Una sucesión es una lista ordenada de números: a₁, a₂, a₃… En una progresión aritmética cada término es el anterior más una cantidad fija, la diferencia d; en una geométrica, el anterior multiplicado por un número fijo, la razón r. Para saber cuál es, se restan dos términos seguidos (si siempre sale lo mismo, es aritmética) o se dividen (si siempre sale lo mismo, es geométrica). Hay sucesiones que no son de ningún tipo, como la de los cuadrados o la de Fibonacci.

El término general da cualquier término sin calcular los anteriores: aₙ = a₁ + (n − 1)·d en las aritméticas y aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ en las geométricas. El error típico es olvidar el «n − 1»: del primer término al término n hay n − 1 saltos. Y para sumar los n primeros términos de una aritmética se usa el truco de Gauss: Sₙ = (a₁ + aₙ) · n ÷ 2, porque el primero más el último suma lo mismo que el segundo más el penúltimo.

• 5, 8, 11, 14… → aₙ = 3n + 2Aritmética: d = 3 y a₁ = 5
• a₁₀₀ = 5 + 99 · 3 = 302Del primero al centésimo hay 99 saltos
• 2, 6, 18, 54… → aₙ = 2 · 3ⁿ⁻¹Geométrica: r = 3 y a₁ = 2
• 1 + 2 + … + 100 = (1 + 100) · 100 ÷ 2 = 5050La suma de Gauss